jueves, 5 de agosto de 2010

DEFINICIÓN DE VELOCIDAD

El la figura siguiente se aprecia un punto “P” cuya posición viene definida por el vector “PRr”. Al cabo de un determinado espacio de tiempo “tΔ” el punto “P” pasa a ocupar la posición “P′” cuya posición vendrá definida por el vector “'PRr”. El punto “P” ha sufrido un desplazamiento “PRΔr” que vendrá definido por:

La velocidad media durante el desplazamiento citado será:

Y la velocidad instantánea del punto “P” será:

Fig.- Desplazamiento de un punto.
Derivación de vectores en coordenadas cartesianas

Si se tiene por ejemplo el vector de posición de un punto “PRr” expresado por medio de sus componentes en coordenadas cartesianas:

La derivada respecto del tiempo de ese vector será el vector velocidad:

La componente “X” del vector velocidad será la derivada de la componente “X” del vector de posición, la componente “Y” de la velocidad será la derivada de la componente “Y” del vector de posición y la componente “Z” de la velocidad será la derivada de la componente “Z” del vector de posición:

3.2 - DEFINICIÓN DE VELOCIDAD ANGULAR

En la figura siguiente se tiene un sólido rígido, con movimiento plano, en una determinada orientación indicada por el ángulo “θ”, al cabo de un instante de tiempo “” el sólido ha realizado una rotación “Δθ

Fig.- Desplazamiento angular de un sólido rígido.

Durante la rotación se puede definir una velocidad angular media como:

Y una velocidad angular instantánea como:

En este caso, por convenio, el vector velocidad angular “ωr” será perpendicular al plano del movimiento, y aplicando la regla del sacacorchos, será negativo si gira en el sentido de las agujas del reloj y positivo en sentido contrario.

- Rotación alrededor de un punto fijo

En un sólido rígido que gire alrededor de un eje fijo la velocidad de uno cualquiera de sus puntos viene expresado por la ecuación.

Fig. - Rotación de un sólido rígido alrededor de un punto.

En un sólido rígido con movimiento plano como el representado en la figura anterior, como los vectores “ωr” y “pRr” son perpendiculares, resultará que el módulo de la velocidad del punto “P” será:


La dirección de será perpendicular a , por tanto contenida en el plano del movimiento, y perpendicular a

El sentido de será coherente con el sentido de tal como se observa en la figura siguiente.

Fig. - Velocidad de un punto de un sólido rígido girando alrededor de un punto fijo.

MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABÓN

Un movimiento cualquiera de un eslabón se puede descomponerse en una traslación más un giro, y que la diferencia de desplazamientos entre dos puntos del eslabón se debía precisamente al giro del eslabón. Por tanto, la relación entre las velocidades de dos puntos será:

La velocidad es debida al giro y su valor será

- Movimiento plano cualquiera

En un sólido rígido con movimiento plano cualquiera, como los vectores y son perpendiculares, resultará que el módulo de la velocidad del punto “P” respecto del punto “Q” será:

La dirección de será perpendicular a por tanto contenida en el plano del movimiento, y perpendicular a . El sentido de será coherente con el sentido de “ω ” al igual que en el movimiento de rotación alrededor de un eje fijo.

ANÁLISIS GRÁFICO DE LA VELOCIDAD. POLÍGONO DE VELOCIDADES

El método gráfico de análisis de velocidades se utiliza en movimiento plano y consiste en representar las ecuaciones vectoriales que relacionan las velocidades de los diferentes puntos de un mecanismo de forma gráfica. Es sencillo e intuitivo ya que las velocidades quedan representadas en la dirección y sentido que realmente tienen.

Fig. – Análisis gráfico de velocidad. Polígono de velocidades.

Un ejemplo de análisis gráfico de velocidades de un eslabón triangular puede apreciarse en la figura anterior. Suponiendo conocida la velocidad del punto “A” y la dirección de la velocidad del punto “B” (a), como la velocidad “V BA” debe ser perpendicular al vector de posición “RBA” (c), inmediatamente quedan determinadas las velocidades “VB ” y “VBA ” (b y d). De la velocidad “VBA” se puede obtener la velocidad angular del eslabón:


A partir de las velocidades de los puntos “A” y “B” se puede determinar la velocidad del punto “C” (f) como:

La velocidad “VCA” es perpendicular a “RCA” y la velocidad “VCB” es perpendicular a “RCB ” (e), en el punto de corte de ambas se encontrará el punto “C”.

El polígono de velocidades es la representación gráfica de las ecuaciones vectoriales que relacionan las velocidades de los diferentes puntos del eslabón (b, d, e y g). Este polígono se dibuja a escala aparte del dibujo del mecanismo a partir de un punto que es el “0” de velocidades. El vector que va desde el “0” de velocidades hasta un punto representa su velocidad absoluta, el vector que va desde un punto “A” hasta un punto “B” representa la velocidad aparente de “B” respecto de “A”.

En el polígono de velocidades se forma una figura semejante al eslabón. Por ejemplo en la figura 3.5 (g) se forma un triángulo cuyos lados son perpendiculares a los lados del triángulo del eslabón, por lo tanto los dos triángulos son semejantes. La relación de semejanza depende de escala del polígono de velocidades y del valor de la velocidad angular.

VELOCIDAD APARENTE DE UN PUNTO EN UN SISTEMA DE COORDENADAS EN MOVIMIENTO



Fig. - Desplazamiento aparente y desplazamiento absoluto.

Dividiendo la ecuación (3.16) por “tΔ” y tomando límites cuando, se obtiene:




Los términos de la ecuación 3.17 representan:


La velocidad “VP/23” representa la velocidad aparente del punto “P3” en los ejes de coordenadas en movimiento y cuando 0→Δt, como el vector “Δ R P3/2” tiende a confundirse con la trayectoria, resulta que dicha velocidad es tangente a la trayectoria.

Teniendo en cuenta los términos de la ecuación 3.18, se puede decir que esta ecuación relaciona las velocidades de puntos coincidentes de diferentes eslabones.

VELOCIDAD ANGULAR APARENTE

La velocidad angular aparente de un eslabón respecto de otro es la velocidad angular con la que ve girar al primer eslabón un observador fijo en el segundo eslabón. Esta velocidad angular aparente se representa como:

CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR RODADURA

– Contacto directo con deslizamiento

En una transmisión de movimiento por contacto directo con deslizamiento, las velocidades de los puntos en contacto de diferentes eslabones son perpendiculares a sus respectivos radios desde los puntos de giro de los eslabones.

Si se trazan una tangente y una normal a las superficies de los eslabones en el punto de contacto y se descomponen las velocidades de los puntos en contacto en una componente normal y otra tangencial, se debe cumplir que las componentes normales de las velocidades de los puntos en contacto deben ser iguales. Si no fuese así, los eslabones se separarían o se incrustarían uno en el otro.



Fig.– Contacto directo con deslizamiento.

Al ser las componentes normales de las velocidades de los puntos en contacto iguales, resulta que la velocidad aparente de un punto respecto del otro debe tener la dirección de la tangente común en el punto de contacto.

– Contacto directo con rodadura

En una transmisión de movimiento por contacto directo con rodadura, las velocidades de los puntos en contacto de diferentes eslabones son iguales, o lo que es lo mismo, la velocidad aparente entre los puntos en contacto es cero.




Fig.– Contacto directo con rodadura.

CENTRO INSTANTÁNEO DE VELOCIDADES (Ó DE ROTACIÓN)

Un concepto muy interesante de la cinemática es que cualquier movimiento diferencial de un sólido rígido equivale a un giro alrededor del eje instantáneo de rotación y deslizamiento y de una traslación en la dirección de dicho eje.

Si se considera un movimiento plano, como no se puede producir una traslación en la dirección del eje, resultará que cualquier movimiento diferencial equivale a un giro alrededor del eje instantáneo de rotación. Este eje es perpendicular al plano del movimiento y normalmente se considera su proyección, que es un punto llamado centro instantáneo de rotación o de velocidades.

Los centros instantáneos de rotación pueden ser: Absolutos, si son de un eslabón cualquiera respecto del eslabón fijo y relativos si son entre dos eslabones móviles.

Una definición general del centro instantáneo de rotación es la ubicación de dos puntos coincidentes de distintos eslabones cuya velocidad absoluta es la misma.

De la definición anterior se desprende que los centros instantáneos absolutos tendrán velocidad cero.

Para demostrar la existencia del centro instantáneo de rotación, por ejemplo si se tiene el eslabón de la figura siguiente del que se conoce la velocidad del punto “A” y su velocidad angular, la ubicación de dicho centro se encontrará en la perpendicular a la velocidad del punto “A” trazada por dicho punto y la distancia desde “A” será:

Fig. – Localización del centro instantáneo de rotación.

La velocidad del punto “P” será:



Queda demostrado que la velocidad del punto “P” es cero, por lo tanto es el centro instantáneo de rotación del eslabón respecto de la base.

En la figura siguiente se representan diferentes formas de localizar el centro instantáneo de rotación de un eslabón respecto de la base: En (a) se determina la distancia hasta el C.I.R. conociendo la velocidad de un punto y la velocidad angular del eslabón. En (b) se determina el C.I.R. por el punto de corte de las perpendiculares a las velocidades de dos puntos trazadas por dichos puntos. En (c) los dos puntos están sobre el mismo radio, por lo tanto sus velocidades son paralelas, en este caso el C.I.R. se localiza en el punto de corte de la perpendicular común a las dos velocidades por los puntos y la recta que pasa por los extremos de las velocidades. En (d) el C.I.R. se encuentra en el punto de contacto por rodadura. En (e) al tener el eslabón un movimiento de traslación el C.I.R. se encontrará en el infinito en una dirección perpendicular al movimiento. Finalmente en (f) el C.I.R. se encontrará en el centro de curvatura de la trayectoria curva que describe el eslabón.


Fig. – Métodos de localización del centro instantáneo de rotación de un eslabón.

TEOREMA DE LOS TRES CENTROS

Si se toman tres eslabones cualesquiera de un mecanismo, los tres centros relativos entre ellos se encuentran en una línea recta.

En la figura 3.11, por ejemplo la velocidad el punto “P23” centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones “2” y “3” será la misma para ese punto perteneciente al eslabón “2” y perteneciente al eslabón “3”, por lo tanto, los centros absolutos de dichos eslabones respecto del eslabón fijo “P31” y “P21” se deben encontrar en la misma perpendicular a la velocidad del punto “P23” trazada por dicho punto, resultando de este modo que los tres centros relativos a los eslabones “1”, “2” y “3” se encuentran en una línea recta. El mismo razonamiento se puede hacer si se toma el centro instantáneo “P34”.


Fig. – Teorema de los tres centros.

LOCALIZACIÓN DE CENTROS INSTANTÁNEOS DE ROTACIÓN

En principio se localizan los centros instantáneos que son evidentes como los pares giratorios, puntos de rodadura y pares prismáticos. A partir de los centros localizados a simple vista, aplicando el teorema de los tres centros, se localizan los restantes.

ANÁLISIS DE VELOCIDAD USANDO CENTROS INSTANTÁNEOS

Para realizar el análisis de velocidades se deben localizar todos los centros instantáneos de rotación absolutos, es decir todos los centros instantáneos respecto del eslabón fijo.

Una conocidos todos los centros absolutos, la velocidad de un punto de un eslabón será la velocidad angular del eslabón por la distancia desde el punto hasta el centro instantáneo. La dirección de la velocidad será perpendicular a la recta que une el punto con el centro instantáneo y el sentido coherente con la velocidad angular. Si se conoce la velocidad de un punto, la velocidad angular del eslabón será la velocidad del punto dividido por la distancia de dicho punto al centro instantáneo absoluto del eslabón al que pertenece el punto.

TEOREMA DE LA RAZÓN DE VELOCIDADES ANGULARES

En el cuadrilátero articulado de la figura 3.12 la velocidad del centro instantáneo de rotación “P24” es la misma para ese punto perteneciente al eslabón “2” y perteneciente al eslabón “4”, por tanto se cumplirá:

De la ecuación anterior se obtiene que relación de velocidades angulares entre el eslabón de salida y el eslabón de entrada en un cuadrilátero articulado será:



Fig. – Relación de velocidades angulares.

VENTAJA MECÁNICA

La ventaja mecánica de un mecanismo es la relación entre el par de salida y el par de entrada.

En el cuadrilátero articulado de la figura 3.13 será la relación *entre los pares “T4” y “T2”.

Despreciando rozamientos, la potencia de entrada debe ser igual a la de salida, por tanto se cumplirá:



La ventaja Mecánica será

De la ecuación 3.26 se desprende que la ventaja mecánica en un cuadrilátero articulado es proporcional al seno del ángulo formado por los eslabones acoplador y seguidor e inversamente proporcional al seno del ángulo formado por los eslabones de entrada y acoplador.

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