jueves, 5 de agosto de 2010

ACELERACION

DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN
El la figura 4.1 se aprecia un punto “P” cuya velocidad viene expresada por el vector “Vp”. Al cabo de un determinado espacio de tiempo “Δt” el punto “P” pasa a ocupar la posición “tΔP′” cuya velocidad vendrá expresada por el vector “'Vp”. La velocidad del punto “P” ha sufrido una variación “ΔVp” que vendrá definida por:

La aceleración media durante el desplazamiento citado será:
Y la aceleración instantánea del punto “P” será:




Cálculo de la aceleración por derivación
Si se tiene por ejemplo el vector velocidad de un punto “Vp” expresado por medio de sus componentes en coordenadas cartesianas:
La derivada respecto del tiempo de ese vector será el vector aceleración:

La componente “X” del vector aceleración será la derivada de la componente “X” del vector velocidad, la componente “Y” de la aceleración será la derivada de la componente “Y” del vector velocidad y la componente “Z” de la aceleración será la derivada de la componente “Z” del vector velocidad:

Y como la velocidad del punto “P” es la derivada del vector de posición, resultará que la aceleración es la derivada segunda del vector de posición:


DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN ANGULAR
En la figura 4.2 se tiene un sólido rígido, con movimiento plano, en una determinada orientación indicada por el ángulo “θ” su velocidad angular es “ω ”, al cabo de un instante de tiempo “Δt” el sólido ha realizado una rotación “Δθ” y su nueva velocidad angular es “θ”. r
La variación de velocidad angular será:

Durante la rotación se puede definir una aceleración angular media como:
Y una aceleración angular instantánea como:



Como el vector velocidad angular “ωr”, por convenio, es perpendicular al plano del movimiento, sus variaciones y por tanto la aceleración angular “α ” también serán perpendiculares a dicho plano, y aplicando la regla del sacacorchos, será negativa si acelera en el sentido de las agujas del reloj y positiva en sentido contrario.

Rotación alrededor de un punto fijo
En un sólido rígido que gire alrededor de un eje fijo la aceleración de uno cualquiera de sus puntos viene expresado por la ecuación (4.11).

El primer término recibe el nombre de aceleración normal y el segundo aceleración tangencial. En un sólido rígido con movimiento plano como el representado en la figura 4.3, como los vectores “ω ” y “Vp” son perpendiculares, resultará que el módulo de la aceleración normal del punto “P” será:

Su dirección será perpendicular a “ωr” y “pVv”, por tanto contenida en el plano del movimiento y normal a la trayectoria (de ahí su nombre de aceleración normal) y su sentido, analizando los dos posibles sentidos de “ω ”, figura 4.4, resulta siempre del punto “P” hacia “O”.

Como los vectores “α” y “Rp” son perpendiculares, resultará que el módulo de la aceleración tangencial del punto “P” será:

La dirección de “tPAr” será perpendicular a “αr”, por tanto contenida en el plano del movimiento, y perpendicular a “PR ”, por tanto tangente a la trayectoria del punto “P” (de ahí su nombre de aceleración tangencial). Y el sentido de “tPAr” será coherente con el sentido de “αr” tal como se observa en la figura 4.5.

MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABÓN
En el apartado (2-12) se expuso que un movimiento cualquiera de un eslabón se puede descomponerse en una traslación más un giro, y que la diferencia de desplazamientos entre dos puntos del eslabón se debía precisamente al giro del eslabón. Por tanto, la relación entre las aceleraciones de dos puntos será:

La aceleración "APQ" es debida al giro y se descompone en dos términos:
Aceleración normal:


Movimiento plano cualquiera
En un sólido rígido con movimiento plano como el representado en la figura 4.3, como los vectores “ω ” y “PQVv” son perpendiculares, resultará que el módulo de la aceleración normal del punto “P” respecto del punto “Q” será:

Su dirección será la del vector “PQRr” y su sentido del punto “P” hacia el punto “Q”.
Como los vectores “αr” y “pRr” son perpendiculares, resultará que el módulo de la aceleración tangencial del punto “P” respecto del punto “Q” será:


ANÁLISIS GRÁFICO DE LA ACELERACIÓN. POLÍGONO DE ACELERACIONES
El método gráfico de análisis de aceleraciones se utiliza en movimiento plano y consiste en representar las ecuaciones vectoriales que relacionan las aceleraciones de los diferentes puntos de un mecanismo de forma gráfica. Es sencillo e intuitivo ya que las aceleraciones quedan representadas en la dirección y sentido que realmente tienen.
Un ejemplo de análisis gráfico de aceleraciones de un eslabón triangular puede apreciarse en la figura 4.6. Suponiendo conocida la aceleración del punto “A” y la velocidad y la aceleración angulares del eslabón, se determina la aceleración del punto “B” (d) como:


La aceleración “ABA ” tiene la dirección y el sentido de “B” hacia “A” y la aceleración “ABA ” es perpendicular a la recta de unión de los puntos y coherente con la aceleración angular (c).



A partir de las aceleraciones de los puntos “A” y “B” se puede determinar la aceleración del punto “C” (f) como:

Se trazan las aceleraciones normales “ACA” y “ACB” con su módulo dirección y sentido y las direcciones de las tangenciales “AtCA” y “AtCB”. En el punto de corte de las tangenciales se encontrará el punto “C”.
El polígono de aceleraciones es la representación gráfica de las ecuaciones vectoriales que relacionan las aceleraciones de los diferentes puntos del eslabón (d, f y g). Este polígono se dibuja a escala, aparte del dibujo del mecanismo a partir de un punto que es el “0” de aceleraciones. El vector que va desde el “0” de aceleraciones hasta un punto representa su aceleración absoluta, el vector que va desde un punto “A” hasta un punto “B” representa la aceleración aparente de “B” respecto de “A”.
En el polígono de aceleraciones se forma una figura semejante al eslabón. Por ejemplo en la figura 4.6 (g) se forma un triángulo cuyos lados representan las aceleraciones “ABA”, “ACA” y “ACB”. Los módulos de estas aceleraciones son:


Como se aprecia en las ecuaciones 4.21, 4.22 y 4.23 los lados del triángulo del polígono de aceleraciones son proporcionales a los lados del triángulo del eslabón, por tanto, son triángulos semejantes.

ACELERACIÓN APARENTE DE UN PUNTO EN UN SISTEMA DE COORDENADAS EN MOVIMIENTO
En la figura 4.7 se tiene un sistema de coordenadas fijo “X1” e “Y1” y un sistema de coordenadas móvil “X2” e “Y2”. Sobre el sistema de coordenadas móvil se tiene una ranura por la que se desplaza el punto “P3”. El punto “P2” es un punto fijo en los ejes móviles cuya posición coincide con la posición inicial del punto “P3”.



La ecuación que relaciona las aceleraciones de estos dos puntos es la siguiente:

Esta ecuación también se puede decir que es la ecuación que relaciona las aceleraciones de puntos coincidentes de diferentes eslabones.
La suma de las aceleraciones “tP/PnP/P2323AAvv+” se suele llamar aceleración relativa y es la aceleración del punto “P3” que percibiría un observador fijo en los ejes móviles.
La aceleración normal de “P3” respecto de “P2” (nP/P23Av) se debe al cambio de dirección de la velocidad relativa del punto “P3” a causa de la curvatura de la ranura y su valor será:


Siendo “23P/PVr” la velocidad del punto “P3” respecto del punto “P2” o velocidad relativa del punto “P3” en los ejes móviles, y “ρ” el radio de curvatura de la ranura en el punto “P2”.
La dirección y sentido de esta aceleración normal es del punto “P2” hacia el centro de curvatura de la ranura.
La aceleración tangencial de “P3” respecto de “P2” (tP/P23Av) se debe al cambio de módulo de la velocidad relativa del punto “P3”. De esta aceleración solo se conoce que su dirección es tangente a la ranura.
La aceleración de Coriolis de “P3” respecto de “P2” (cP/P23Av) se debe al giro de los ejes móviles y a la velocidad relativa del punto “P3”. Su módulo dirección y sentido viene definido por el producto vectorial siguiente
ACELERACIÓN ANGULAR APARENTE
La aceleración angular aparente de un eslabón respecto de otro es la aceleración angular con la que ve acelerarse al primer eslabón un observador fijo en el segundo eslabón. Esta aceleración angular aparente se representa como:

CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR RODADURA
Contacto directo con deslizamiento



En un mecanismo como el representado en la figura 4.9 (a), formado por tres eslabones, el punto de contacto “C” se debe producir deslizamiento ya que la velocidad de este punto es diferente si se considera perteneciente al eslabón “2” o al eslabón “3”, figura 4.9 (c).
La ecuación que relaciona las aceleraciones de puntos coincidentes de diferentes eslabones, teóricamente se podría plantear en el punto “C”, pero resulta que la trayectoria que describe el punto “C2” en unos ejes de coordenadas solidarios al eslabón “3” y la trayectoria que describe el punto “C3” en unos ejes de coordenadas solidarios al eslabón “2” no son conocidas. Al no conocerse estas trayectorias, no se puede calcular la aceleración normal de un punto respecto del otro y no se puede resolver el análisis de aceleraciones.
En este caso, si prolonga imaginariamente el eslabón “3”, figura 4.9 (b), se observa que el punto “B2” describe una trayectoria recta sobre el eslabón “3”. Por tanto la ecuación que relaciona las aceleraciones de puntos coincidentes de diferentes eslabones se debe plantear en el punto “B” y será la siguiente:

Se debe tener en cuenta que no se debe plantear la aceleración desconocida en función de la conocida, sino que se debe plantear la aceleración del punto cuya trayectoria se conoce en función del punto correspondiente al eslabón en el que se desarrolla la trayectoria. En este caso la trayectoria que describe el punto “B3” en unos ejes solidarios al eslabón “2” también sería desconocida.
En la ecuación 4.31 la aceleración normal del punto “B2” respecto del punto “B3” será nula. La aceleración tangencial del punto “B2” respecto del punto “B3” tendrá la dirección de la trayectoria. Y la aceleración de Coriolis se determinará por medio del producto vectorial.
Las ecuaciones que relacionan las aceleraciones de los diferentes puntos del mecanismo están representadas en el polígono de aceleraciones, figura 4.9 (d).

Rodadura sobre un eslabón fijo
En una rodadura sobre un eslabón fijo come el representado en la figura 4.8, la aceleración del punto “C” es horizontal y su valor será:
La aceleración del punto “P3” será:


La aceleración “nCP3Ar” tiene la dirección de “P” hacia “C” por tanto es perpendicular a la superficie de rodadura.
La aceleración “tCP3Ar” tiene el mismo módulo que la aceleración del punto “C” y sentido contrario.
Teniendo en cuenta que la aceleración del punto “P2” es cero, de los dos párrafos anteriores se deduce que la aceleración del punto “P3” respecto del punto “P2” es perpendicular a la superficie de rodadura.
A la misma conclusión se llegaría planteando la ecuación que relaciona las aceleraciones de los puntos en contacto:
En esta ecuación, la aceleración del punto “P2” es cero, las aceleraciones normal y de Coriolis del punto “P3” respecto del punto “P2” son nulas debido a que es nula la velocidad del punto “P3” respecto del punto “P2”.
El único término no nulo es la aceleración tangencial del punto “P3” respecto del punto “P2”. La dirección de esta aceleración es tangente a la trayectoria que describe el punto “P3” que es una cicloide. La tangente a la cicloide en el punto de contacto es perpendicular a la superficie de rodadura, por tanto queda probada la dirección de la aceleración del punto “P3” respecto del punto “P2”.
La aceleración tangencial del punto “P3” respecto del punto “P2”, al tener la dirección del radio de la rueda, se suele denominar aceleración radial del punto “P3” respecto del punto “P2”.

Contacto directo con rodadura
En un mecanismo como el representado en la figura 4.10 (a), formado por cuatro eslabones, puede existir rodadura sin deslizamiento



En este caso las velocidades de los puntos “C3” y “C4” serán iguales. La aceleración relativa entre estos dos puntos se sabe que es perpendicular a la tangente en el punto de contacto, pero no se sabe su valor, por lo que no se podrá plantear la ecuación que relaciona las aceleraciones en el punto “C”.

Al igual que en el apartado anterior, se debe prolongar imaginariamente el eslabón “3”. El punto “B2” describe una trayectoria recta sobre el eslabón “3” por lo que se puede plantear la ecuación de relación de aceleraciones en el punto “B”, ecuación que será:
La aceleración normal será nula, la tangencial tendrá la dirección de la trayectoria y la de Coriolis vendrá dada por el producto vectorial.
En la figura 4.10 (c) queda representado el polígono de aceleraciones del mecanismo.
Cabe destacar que tanto en el contacto con deslizamiento como con rodadura, para poder realizar el análisis de aceleraciones, el contacto se debe producir entre superficies rectas o circunferencias, ya que en estos casos es fácil determinar el radio de curvatura de la trayectoria que describe un punto en unos ejes de coordenadas solidarios al otro eslabón.

No hay comentarios:

Publicar un comentario en la entrada