jueves, 5 de agosto de 2010

CENTRO INSTANTANEO DE ROTACIÓN

CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN

Tal como sugirió Reuleaux a mediados del siglo XIX, los eslabones se pueden considerar que en cada instante realizan un giro alrededor de un centro. Dicho centro se llama centro instantáneo de rotación o polo de velocidades. Cuando un eslabón está efectuando una traslación en un momento dado, su centro instantáneo de rotación se encuentra en el infinito y en una dirección perpendicular al movimiento del eslabón. Esto se denota fácilmente porque las velocidades de todos sus puntos son iguales y sus vectores paralelos.

Imagínese un cuadrilátero articulado ABCD (Fig. 3.4), donde se han determinado las velocidades VB y VC, tal como se describió en la sección anterior.

El eslabón 1 tiene un punto A fijo, luego el centro instantáneo de rotación del eslabón 1, con relación al eslabón fijo 4 se indicará por la notación P14 y se confunde con el punto A. Análogamente ocurre con el eslabón 3, y será P3D. Por su parte, el punto B es la articulación de los eslabones 2 y 1; luego P12 = B. Por la misma razón P23 coincide con el punto C. Debe observarse que, cuando se determina el centro instantáneo de rotación con relación al eslabón fijo 4, las velocidades de sus puntos son normales a los radios considerados. Así VB es normal a BA y VC lo es a CD.

Para hallar el centro instantáneo de rotación del eslabón 2 con relación al eslabón fijo 4, bastará trazar por B y C sendas rectas perpendiculares a las velocidades en tales puntos y su intersección proporcionará el punto P24. El eslabón 2 es como si en la posición mostrada en la Fig. 3.4 estuviera girando alrededor del punto P24.


Si por el punto C se llevan las velocidades VC y VB se tiene un triángulo CFE que es semejante al P24BC (por tener sus lados homólogos ortogonales) y, por lo tanto, se puede escribir que:

de donde resulta que las velocidades (de los puntos B y C, en este caso) son proporcionales a sus distancias respectivas al centro instantáneo de rotación (polo P24). De aquí se deduce que el eslabón 2 está rotando alrededor de P24 con velocidad angular

El punto P24 centro instantáneo de rotación del eslabón 2 con relación al eslabón 4, tiene la misma velocidad por ambos eslabones y por lo tanto, por ser fijo el eslabón 4, resulta que el punto P24 no se mueve. Lo mismo ocurre respecto a coincidencia de velocidades con los restantes centros encontrados y siempre estos puntos representan la superposición de otros dos, uno de cada eslabón. Tales puntos tienen gran utilidad para la localización de velocidades de otros puntos, pero ha de tenerse en cuenta que tales polos de velocidades solo pueden emplearse en una concreta posición del mecanismo, ya que un instante después estos puntos pueden ser sustituidos por otros distintos, y de hecho generalmente lo son.

Por último, resta encontrar el centro de rotación del eslabón 3 con relación al eslabón 1. Para determinarlo se supondrá realizada una inversión del mecanismo de la Fig. 3.4, admitiéndose que el eslabón 1 es fijo; esto es, los puntos A y B son las articulaciones unidas al bastidor del mecanismo. Si B y A fuesen fijos, los puntos C y D tendrían velocidades normales, respectivamente, a BC y AD, y sus rectas perpendiculares CB y AD se cortarían en el punto P31 que es el centro instantáneo de rotación buscado. El número de centros instantáneo existentes en un mecanismo con n barras o eslabones vendrá dado por la expresión

que representaría las combinaciones binarias posibles entre eslabones. Hay una regla práctica para la localización de centros instantáneos. Obsérvese en la Fig. 3.4que están alineados los cuatro grupos siguientes de puntos para un cuadrilátero articulado:

1) P31 P14 P34

2) P31 P21 P23

3) P24 P23 P34

4) P24 P21 P14

Conocidos 2 de los tres puntos de una alineación es posible encontrar al tercero, ya que ha de estar alineado con los dos anteriores. Esta propiedad se denomina regla de los tres centros o Teorema de Aronhold-Kennedy que dice:

“Cuando tres cuerpos cualesquiera tienen movimiento relativos plano sus tres centros instantáneos (o centros de rotación relativa), están en línea recta”.

De otra forma podemos decir que en todo mecanismo cada grupo de tres eslabones con tres centros con "parentesco" entre sí están situados sobre una misma recta.

Para demostrarlo, fijémonos en la figura-2 en la que representamos tres cuerpos designados con los números 1,2 y 3, cada uno de ellos con movimiento plano. Si suponemos que el cuerpo 1 es estacionarlo y el 2 y 3 están articulados a este, las articulaciones 12 y 13 serán centros puesto que en ambos casos. la velocidad lineal absoluta es la misma, en este caso cero. Supongamos que el tercer centro el 23 estuviese en la posición del punto A. Es evidente que en esta posición coinciden dos puntos, uno de cada eslabón y cada uno de ellos tiene una velocidad lineal absoluta.

Pero veamos como son dichas velocidades. Hemos supuesto que el eslabón 2 gire al rededor del punto 1, luego la velocidad del punto A como perteneciente a 2 será perpendicular al radio 12-A. Así mismo la velocidad lineal de A como perteneciente al eslabón 3 será perpendicular al radio 13-A, puesto que dicho eslabón gira alrededor de 13. Independientemente de cual sea su magnitud -que podría ser igual- está claro que las direcciones de ambas velocidades no coinciden, luego el punto A no puede ser centro de 23. Prescindiendo de magnitud, lo que queda claro es que para que las direcciones de la velocidad del punto A con perteneciente al eslabón 2 y al 3 coincidan, dicho punto A tiene que estar situado en la recta 12- 13 como queríamos demostrar.

DETERMINACIÓN DE CENTROS INSTANTÁNEOS

Para localizar los CIR seguimos el siguiente método:

1) Hallar el número de centros (N = 4 (4 - 1)/2 = 6).

2) Determinar los inmediatos por simple inspección.

3) Localizar el resto mediante la ley de los tres centros.

En la Fig. 3.6 muestra un mecanismo de biela-manivela donde se han numerado los eslabones desde el 1 hasta el 4. Al disponer de 4 eslabones, el numero de centros a localizar es de N = 4 (4 - 1)/2 = 6. Con objeto de no omitir ninguno de los polos, se suele trazar un polígono auxiliar de n = 4 vértices (a la derecha de la figura) y se construyen con trazo lleno los centros inicialmente conocidos o inmediatos. Los polos conocidos son P12, P23 y P14 que se determinan de forma inmediata una vez construida la figura.

Todos los centros instantáneo localizados en primera instancia se han detectado por las articulaciones de los eslabones 1 y 2, 2 y 3, así como 1 y 4. El polo P24 se determina en la línea AB, donde se hallan P12 y P14 y por aplicación de la regla de Aronhold-Kennedy. El polo P34 se deberá situar en línea con P23 y P24 y está en el infinito puesto que el eslabón 3 realiza una traslación. Por último, el polo P31 se encuentra donde se corten las rectas definidas por los puntos A y P34, por una parte, y C y B por otra

Otro mecanismo de corredera está representado en la Fig. 3.7, que dispone también de cuatro eslabones con un par prismático entre los elementos 1 y 2. La construcción auxiliar de los eslabones está realizada, en la parte derecha de la figura y se muestra que inicialmente son inmediatos la localización de los polos P14, P34 y P23; restando encontrar otros tres polos más.

El polo P12, al ser el elemento 2 prismático que se desplaza por el eslabón 1, se encontrará en el infinito en la dirección ortogonal a la barra 1. El centro instantáneo de rotación P13 se encuentra como la intersección de las líneas definidas por los polos P12 y P23, de un lado y P14 con P34, de otro.

El centro que resta, P24, se encuentra en la recta BC y en la perpendicular por A al eslabón 1. De esta forma quedan establecidas las posiciones de todos los centros instantáneos de rotación, y a partir de ellos cabe encontrar velocidades en todo el mecanismo.

La Fig. 3.8 representa una cadena cinemática de 6 eslabonamientos y con

N = n (n - 1)/2 = 6 x 5 / 2 = 15 centros instantáneos de rotación, los cuales quedan representados.



ANÁLISIS DE LA VELOCIDAD CON EL EMPLEO DE LOS CENTROS

INSTANTÁNEOS DE ROTACIÓN

Cuando se conocen los centros instantáneos de rotación de un mecanismo resulta inmediato determinar la velocidad de cualquier punto del mismo, sin necesidad de calcular primero las velocidades de otros puntos. Con el método de los CIR, no es necesario calcular la velocidad de un punto que una físicamente dos barras, sino que calculando la velocidad del CIR relativo de dos eslabones podemos considerar que conocemos la velocidad de un punto que pertenece indistintamente a cualquiera de los dos eslabones. Es importante resaltar que el CIR se comporta como si perteneciera simultáneamente a ambos eslabones, por tanto su velocidad debe ser la misma si la obtenemos en base a uno u otro eslabón.

Para calcular las velocidades por CIR seguiremos los pasos siguientes:

1. Identificar los eslabones a los que pertenecen:

a) El punto de velocidad conocida.

b) El punto de velocidad desconocida.

c) El eslabón de referencia o barra fija.

2. Se hallan los tres CIR relativos correspondientes a las barras, que estarán en línea recta según nos indica el Teorema de Kennedy.

3. Se calcula la velocidad del CIR relativo de los dos eslabones no fijos, considerándolo como un punto perteneciente a la barra de velocidad conocida.

4. Se considera la velocidad hallada como la de un punto del eslabón cuya velocidad queremos hallar. Conociendo la velocidad de un punto del eslabón (CIR) y su centro de giro podemos encontrar la de cualquier otro punto del mismo.

Aplicación de los CIR a un mecanismo de cuatro barras.

Aplicación de los CIR a un mecanismo de biela - manivela.

CURVAS POLARES

Una curva polar es el lugar geométrico de todas las posiciones alcanzadas por el centro instantáneo de rotación, o polo de velocidades, de un eslabón con respecto a otro.

La Fig. 3.9a muestra la curva polar correspondiente a diversas posiciones del mecanismo de 4 barras y generada por el punto P24. Como tal punto tiene la misma velocidad, tanto si se considera del eslabón 2 como si se hace del 4, se desprende que tal punto no tiene velocidad. Por tal razón a esta curva polar se denomina curva polar fija, o base.

Debe tenerse especial cuidado en no confundir la curva polar con la trayectoria de ningún punto cuando evoluciona el mecanismo. Piénsese que el punto P24 es centro instantáneo solo para una posición; al moverse el cuadrilátero articulado, otros puntos irán sucediéndose como centros instantáneo y configurarán la curva polar.

Cuando se realiza la inversión del mecanismo, tal como refleja la Fig.3.9b, se obtiene otra curva polar que se denomina móvil, o ruleta y que se ha generado por el mismo punto P24. Ambas curvas, según se va moviendo el cuadrilátero, se mantienen tangentes en todo momento. Para una posición cualquiera el punto de tangencia es el polo de velocidades actual a tal posición.

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