jueves, 5 de agosto de 2010

FUERZAS. Continuacion

CÁLCULO DE FUERZAS
En este capítulo se estudiarán mecanismos planos, por lo tanto las fuerzas estarán contenidas en el plano del movimiento.
En este apartado se va a realizar un análisis dinámico inverso, es decir se supone conocida la cinemática del mecanismo, aceleraciones de los centros de gravedad y aceleraciones angulares de todos los eslabones y se debe determinar las fuerzas y momentos a aplicar para que se produzcan las aceleraciones previstas. También se determinarán las fuerzas de restricción que aparecerán en los pares de unión de los eslabones.
Suponiendo un eslabón como el representado en la figura 13.10 del que se conoce la aceleración de su centro de gravedad y su aceleración angular, para que se cumplan las leyes de la dinámica, habrá que aplicarle una serie de fuerzas cuya resultante será:
La resultante “Rr” tiene la misma dirección y sentido que la aceleración del centro de gravedad, por tanto sus líneas de acción son paralelas.


Y como el momento de las fuerzas respecto al centro de gravedad “G” debe ser igual al momento de inercia respecto del eje “Z” que pasa por “G” por la aceleración angular, se cumplirá que la línea de acción de la resultante “Rr” estará desplazada del centro de gravedad una distancia


La fuerza “Rr” será la resultante de las fuerzas que le realicen los otros eslabones a través de los pares de unión.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
En los problemas de dinámica inversa se cumplen que las fuerzas y momentos que se deben aplicar a un mecanismo para que tenga una determinada cinemática son iguales a las sumas de fuerzas y de momentos que se deben aplicar para todos los casos, suponiendo que en cada caso solamente tenga masa un eslabón.
El principio de superposición se ilustra en la figura 13.11



ROTACIÓN EN TORNO A UN PUNTO FIJO


El eslabón de la figura 13.12 que gira alrededor de un punto “O” con una velocidad angular “” y que tiene una aceleración angular “ωα”, tendrá una aceleración del centro de gravedad que se puede descomponer una aceleración normal y una tangencial cuyos valores serán:
Para conseguir la aceleración del centro de gravedad “GAr” se deberá aplicar un sistema de fuerzas cuya resultante sea “R ” que también se podrá descomponer en una componente normal y una tangencial, cuyos valores serán:


Como la componente normal “” no produce momento respecto de “G” se cumplirá

Si el eslabón se mueve debido a un par introducido por el eje de giro, el valor de ese par será:


Según la ecuación 13.37, el par a aplicar en el eje “O” será el momento de inercia del eslabón respecto de ese punto por la aceleración angular del eslabón.
La justificación del momento a aplicar en el eje que pasa por “O” puede apreciarse en la figura 13.13 sustituyendo una fuerza por otra fuerza desplazada y un par cuyo valor será la fuerza por la distancia desplazada.


CASOS DE ESLABONES ESPECIALES

Eslabón de salida en un cuadrilátero articulado
Si se tiene un cuadrilátero articulado en el que el centro de gravedad del eslabón de salida, eslabón “4”, coincide con su centro de giro, figura 13.14, resultará que la aceleración del centro de gravedad de dicho eslabón será nula, por lo que la suma de fuerzas que actúen sobre dicho eslabón deberá ser nula también.

Al estudiar el caso de superposición en el que solamente tenga masa el eslabón “4”, la fuerza “F34” tendrá la dirección del eslabón “3”. La fuerza aplicada por el eslabón “1”, “F14”, deberá ser paralela, del mismo módulo y sentido contrario a “F34”. El módulo de estas fuerzas será:



Las fuerzas “F34” y “F14” deberán tener el sentido apropiado para que sean un par en el mismo sentido que el de “4α”.

Eslabón de entrada en un cuadrilátero articulado
Al estudiar el caso de superposición en el que solamente tenga masa el eslabón de entrada, eslabón “2”, resultará que las fuerzas y pares necesarios para acelerar dicho eslabón se les deberá aplicar el eslabón “1”
Se pueden obtener cuatro casos:


En el primer caso, al ser la aceleración del centro de gravedad del eslabón nula y la aceleración angular también nula, no se necesita fuerza ni par alguno para que el eslabón permanezca indefinidamente con el movimiento que tenga.
En el segundo caso, la fuerza a aplicar al eslabón será nula pero se le deberá aplicar un par desde el eslabón “1”


En el tercer caso, figura 13.15, al ser la aceleración angular nula, el centro de gravedad tendrá una aceleración normal hacia el punto de giro del eslabón.



La fuerza a aplicar por el eslabón “1” en el punto “O2” tendrá la dirección y sentido de “G2” hacia “O2” y su valor será:


El cuarto caso, figura 13.16, el centro de gravedad del eslabón de entrada, eslabón “2”, tendrá una aceleración “2GAr”. Para conseguir esta aceleración habrá que aplicarle un sistema de fuerzas cuya resultante sea

Aplicada de forma que el momento de “R2r” respecto del centro de gravedad del eslabón tenga el mismo sentido que la aceleración angular de dicho eslabón. El valor del descentramiento será:


En el caso de superposición en el que se considera que solamente tiene masa el eslabón “2”, a dicho eslabón solamente se le pueden aplicar fuerzas desde el eslabón “1”, por tanto la resultante “R2r” se debe sustituir por una fuerza “F12 ”, del mismo módulo, dirección y sentido que “R2 ” aplicada en “O2” y un momento “M12” que será el momento de “2R ” respecto del punto “O2” cuyo valor será:


La resolución de este caso también se puede plantear como que se debe aplicar una fuerza en el punto “O2”
CASO SENCILLO DE DINÁMICA DIRECTA
Los problemas de dinámica directa, en los que se conocen las fuerzas o pares aplicados y se debe determinar la cinemática del mecanismo, suelen ser bastante complejos de resolución. No obstante, hay algunos casos sencillos, por ejemplo cuando se trata de mecanismos formados por ejes y poleas o ruedas dentadas en los que los centros de gravedad se encuentran en los ejes geométricos de los ejes, figura 13.17.



En una cadena cinemática como la de la figura 13.17 se pueden reducir todos los ejes al eje del motor.
Llamando “Mi/j” al par a aplicar en el eje “i” para acelerar angularmente al eje “j”, se tendrá:


Como en este ejemplo el par motor esta aplicado en eje “1”, teniendo en cuenta que si se desprecia el rozamiento se conserva la potencia, resultará:

Siendo:En la figura 13.18 se aprecia que la velocidad del punto “C”, centro instantáneo de rotación relativo a las dos ruedas, es la misma para las dos ruedas, por tanto se cumple:


Teniendo en cuenta que la aceleración relativa entre los puntos en contacto en una rodadura tiene la dirección de la recta de unión de centros, resulta que las aceleraciones tangenciales de los dos puntos en contacto es la misma y de valor:

La relación entre las velocidades angulares de las ruedas será:


Teniendo en cuenta la relación entre las aceleraciones angulares, las ecuaciones 13.50, 13.51 y 13.52 se podrán escribir:









El par a aplicar en el eje “1” será la suma de los pares en dicho eje para acelerarse el mismo y acelerar a los ejes “2”, “3” y “4”.

De la ecuación 13.53 se desprende que el conjunto de ejes se puede sustituir, por ejemplo, por un volante colocado en el eje del motor y cuyo momento de inercia sea la suma del momento de inercia del eje del motor más los momentos de inercia de los otros ejes multiplicados por la correspondiente relación de transmisión con el eje motor al cuadrado.
Incluso en un automóvil como el de la figura 13.19, se puede reducir la masa del automóvil a un momento de inercia colocado en el eje del motor.


Si la cadena cinemática desde el motor a las ruedas experimenta una aceleración, el automóvil adquirirá una aceleración lineal que será la aceleración angular de las ruedas por el radio de las ruedas
Para conseguir dicha aceleración, la pista efectuará sobre la periferia de las ruedas una fuerza.


Para conseguir esta fuerza, el eje de las ruedas deberá aplicar un par

Finalmente el par que deberá aplicar el motor en su eje para acelerar la masa del automóvil será;

De la ecuación 13.56 se desprende que la masa del coche se puede sustituir por un volante cuyo momento de inercia sea “” colocado en el eje del motor.

FUERZAS DE SACUDIMIENTO
En el análisis de fuerzas estáticas, la suma de fuerzas y la suma de momentos que actúan sobre cualquier eslabón deben ser cero. En particular la suma de fuerzas y la suma de momentos que actúan sobre el eslabón fijo son nulas.
En dinámica no ocurre lo mismo, la suma de fuerzas que actúan sobre un eslabón deben ser igual al producto de su masa por la aceleración de su centro de gravedad.
La suma de fuerzas que realiza el eslabón fijo sobre el resto de eslabones será:



Por el principio de acción y reacción, los eslabones móviles realizarán sobre el eslabón fijo una serie de fuerzas cuya suma será:
A la suma de fuerzas que realizan los eslabones móviles sobre el eslabón fijo se le llama fuerza de sacudimiento y es una fuerza que tiende a hacer vibrar al chasis de la máquina donde está acoplado el mecanismo y que por lo tanto interesa minimizarla.

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