jueves, 5 de agosto de 2010

FUERZAS. Continuacion

CÁLCULO DE FUERZAS
En este capítulo se estudiarán mecanismos planos, por lo tanto las fuerzas estarán contenidas en el plano del movimiento.
En este apartado se va a realizar un análisis dinámico inverso, es decir se supone conocida la cinemática del mecanismo, aceleraciones de los centros de gravedad y aceleraciones angulares de todos los eslabones y se debe determinar las fuerzas y momentos a aplicar para que se produzcan las aceleraciones previstas. También se determinarán las fuerzas de restricción que aparecerán en los pares de unión de los eslabones.
Suponiendo un eslabón como el representado en la figura 13.10 del que se conoce la aceleración de su centro de gravedad y su aceleración angular, para que se cumplan las leyes de la dinámica, habrá que aplicarle una serie de fuerzas cuya resultante será:
La resultante “Rr” tiene la misma dirección y sentido que la aceleración del centro de gravedad, por tanto sus líneas de acción son paralelas.


Y como el momento de las fuerzas respecto al centro de gravedad “G” debe ser igual al momento de inercia respecto del eje “Z” que pasa por “G” por la aceleración angular, se cumplirá que la línea de acción de la resultante “Rr” estará desplazada del centro de gravedad una distancia


La fuerza “Rr” será la resultante de las fuerzas que le realicen los otros eslabones a través de los pares de unión.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
En los problemas de dinámica inversa se cumplen que las fuerzas y momentos que se deben aplicar a un mecanismo para que tenga una determinada cinemática son iguales a las sumas de fuerzas y de momentos que se deben aplicar para todos los casos, suponiendo que en cada caso solamente tenga masa un eslabón.
El principio de superposición se ilustra en la figura 13.11



ROTACIÓN EN TORNO A UN PUNTO FIJO


El eslabón de la figura 13.12 que gira alrededor de un punto “O” con una velocidad angular “” y que tiene una aceleración angular “ωα”, tendrá una aceleración del centro de gravedad que se puede descomponer una aceleración normal y una tangencial cuyos valores serán:
Para conseguir la aceleración del centro de gravedad “GAr” se deberá aplicar un sistema de fuerzas cuya resultante sea “R ” que también se podrá descomponer en una componente normal y una tangencial, cuyos valores serán:


Como la componente normal “” no produce momento respecto de “G” se cumplirá

Si el eslabón se mueve debido a un par introducido por el eje de giro, el valor de ese par será:


Según la ecuación 13.37, el par a aplicar en el eje “O” será el momento de inercia del eslabón respecto de ese punto por la aceleración angular del eslabón.
La justificación del momento a aplicar en el eje que pasa por “O” puede apreciarse en la figura 13.13 sustituyendo una fuerza por otra fuerza desplazada y un par cuyo valor será la fuerza por la distancia desplazada.


CASOS DE ESLABONES ESPECIALES

Eslabón de salida en un cuadrilátero articulado
Si se tiene un cuadrilátero articulado en el que el centro de gravedad del eslabón de salida, eslabón “4”, coincide con su centro de giro, figura 13.14, resultará que la aceleración del centro de gravedad de dicho eslabón será nula, por lo que la suma de fuerzas que actúen sobre dicho eslabón deberá ser nula también.

Al estudiar el caso de superposición en el que solamente tenga masa el eslabón “4”, la fuerza “F34” tendrá la dirección del eslabón “3”. La fuerza aplicada por el eslabón “1”, “F14”, deberá ser paralela, del mismo módulo y sentido contrario a “F34”. El módulo de estas fuerzas será:



Las fuerzas “F34” y “F14” deberán tener el sentido apropiado para que sean un par en el mismo sentido que el de “4α”.

Eslabón de entrada en un cuadrilátero articulado
Al estudiar el caso de superposición en el que solamente tenga masa el eslabón de entrada, eslabón “2”, resultará que las fuerzas y pares necesarios para acelerar dicho eslabón se les deberá aplicar el eslabón “1”
Se pueden obtener cuatro casos:


En el primer caso, al ser la aceleración del centro de gravedad del eslabón nula y la aceleración angular también nula, no se necesita fuerza ni par alguno para que el eslabón permanezca indefinidamente con el movimiento que tenga.
En el segundo caso, la fuerza a aplicar al eslabón será nula pero se le deberá aplicar un par desde el eslabón “1”


En el tercer caso, figura 13.15, al ser la aceleración angular nula, el centro de gravedad tendrá una aceleración normal hacia el punto de giro del eslabón.



La fuerza a aplicar por el eslabón “1” en el punto “O2” tendrá la dirección y sentido de “G2” hacia “O2” y su valor será:


El cuarto caso, figura 13.16, el centro de gravedad del eslabón de entrada, eslabón “2”, tendrá una aceleración “2GAr”. Para conseguir esta aceleración habrá que aplicarle un sistema de fuerzas cuya resultante sea

Aplicada de forma que el momento de “R2r” respecto del centro de gravedad del eslabón tenga el mismo sentido que la aceleración angular de dicho eslabón. El valor del descentramiento será:


En el caso de superposición en el que se considera que solamente tiene masa el eslabón “2”, a dicho eslabón solamente se le pueden aplicar fuerzas desde el eslabón “1”, por tanto la resultante “R2r” se debe sustituir por una fuerza “F12 ”, del mismo módulo, dirección y sentido que “R2 ” aplicada en “O2” y un momento “M12” que será el momento de “2R ” respecto del punto “O2” cuyo valor será:


La resolución de este caso también se puede plantear como que se debe aplicar una fuerza en el punto “O2”
CASO SENCILLO DE DINÁMICA DIRECTA
Los problemas de dinámica directa, en los que se conocen las fuerzas o pares aplicados y se debe determinar la cinemática del mecanismo, suelen ser bastante complejos de resolución. No obstante, hay algunos casos sencillos, por ejemplo cuando se trata de mecanismos formados por ejes y poleas o ruedas dentadas en los que los centros de gravedad se encuentran en los ejes geométricos de los ejes, figura 13.17.



En una cadena cinemática como la de la figura 13.17 se pueden reducir todos los ejes al eje del motor.
Llamando “Mi/j” al par a aplicar en el eje “i” para acelerar angularmente al eje “j”, se tendrá:


Como en este ejemplo el par motor esta aplicado en eje “1”, teniendo en cuenta que si se desprecia el rozamiento se conserva la potencia, resultará:

Siendo:En la figura 13.18 se aprecia que la velocidad del punto “C”, centro instantáneo de rotación relativo a las dos ruedas, es la misma para las dos ruedas, por tanto se cumple:


Teniendo en cuenta que la aceleración relativa entre los puntos en contacto en una rodadura tiene la dirección de la recta de unión de centros, resulta que las aceleraciones tangenciales de los dos puntos en contacto es la misma y de valor:

La relación entre las velocidades angulares de las ruedas será:


Teniendo en cuenta la relación entre las aceleraciones angulares, las ecuaciones 13.50, 13.51 y 13.52 se podrán escribir:









El par a aplicar en el eje “1” será la suma de los pares en dicho eje para acelerarse el mismo y acelerar a los ejes “2”, “3” y “4”.

De la ecuación 13.53 se desprende que el conjunto de ejes se puede sustituir, por ejemplo, por un volante colocado en el eje del motor y cuyo momento de inercia sea la suma del momento de inercia del eje del motor más los momentos de inercia de los otros ejes multiplicados por la correspondiente relación de transmisión con el eje motor al cuadrado.
Incluso en un automóvil como el de la figura 13.19, se puede reducir la masa del automóvil a un momento de inercia colocado en el eje del motor.


Si la cadena cinemática desde el motor a las ruedas experimenta una aceleración, el automóvil adquirirá una aceleración lineal que será la aceleración angular de las ruedas por el radio de las ruedas
Para conseguir dicha aceleración, la pista efectuará sobre la periferia de las ruedas una fuerza.


Para conseguir esta fuerza, el eje de las ruedas deberá aplicar un par

Finalmente el par que deberá aplicar el motor en su eje para acelerar la masa del automóvil será;

De la ecuación 13.56 se desprende que la masa del coche se puede sustituir por un volante cuyo momento de inercia sea “” colocado en el eje del motor.

FUERZAS DE SACUDIMIENTO
En el análisis de fuerzas estáticas, la suma de fuerzas y la suma de momentos que actúan sobre cualquier eslabón deben ser cero. En particular la suma de fuerzas y la suma de momentos que actúan sobre el eslabón fijo son nulas.
En dinámica no ocurre lo mismo, la suma de fuerzas que actúan sobre un eslabón deben ser igual al producto de su masa por la aceleración de su centro de gravedad.
La suma de fuerzas que realiza el eslabón fijo sobre el resto de eslabones será:



Por el principio de acción y reacción, los eslabones móviles realizarán sobre el eslabón fijo una serie de fuerzas cuya suma será:
A la suma de fuerzas que realizan los eslabones móviles sobre el eslabón fijo se le llama fuerza de sacudimiento y es una fuerza que tiende a hacer vibrar al chasis de la máquina donde está acoplado el mecanismo y que por lo tanto interesa minimizarla.

FUERZAS

FUERZAS ESTÁTICAS

Fuerzas estáticas son todas las fuerzas que actúen sobre un cuerpo y que no se deban al término de masa por aceleración.

Fuerzas dinámicas son las fuerzas debidas al término de masa por aceleración.

Se pueden dar solamente fuerzas estáticas en mecanismos en movimiento si se desprecia su masa.

A continuación se da la definición de algunos términos que se utilizarán frecuentemente

Fuerza es acción de un cuerpo que actúa sobre otro.

Materia, es el material o sustancia de la que está hecho el cuerpo.

Masa, cantidad de materia de un cuerpo.

Inercia, propiedad de la masa de oponerse a los cambios de

movimiento.

Peso, fuerza de la gravedad que actúa sobre una masa.

Partícula, cuerpo de dimensiones despreciables.

Cuerpo rígido, se puede considerar aquel cuerpo cuyas deformaciones no afectan al cálculo cinemático y dinámico.

Cuerpo deformable, cuando se deben tener en cuenta las deformaciones en el cálculo cinemático y dinámico.

Leyes de Newton

1ª - Si todas las fuerzas que actúan sobre una

partícula están equilibradas, la partícula permanecerá en reposo si estaba en reposo, o se desplazará con movimiento rectilíneo constante.

2º - Si la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula no están equilibradas, la partícula sufrirá una aceleración en la dirección y sentido de la resultante de las fuerzas.

3º - Si sobre un cuerpo actúa una fuerza, este cuerpo devuelve una reacción de igual módulo y dirección y de sentido contrario a la acción.

Sistema internacional

En el sistema internacional se tiene como unidades fundamentales de masa el kilogramo, de longitud el metro y de tiempo el segundo.

Como unidad derivada se tiene de fuerza el Newton que es la fuerza que aplicada a una masa de un kilogramo le imprime una aceleración de un metro segundo cuadrado. Sus dimensiones serán:

N = (12.1) 2s·m·Kg

Sistema inglés

En el sistema inglés se tiene como unidades fundamentales de fuerza la libra, de longitud el pie o la pulgada y de tiempo el segundo.

En España, en lenguaje popular, se habla del peso en kilogramos, así por ejemplo, se dice que un cuerpo pesa X Kg. cuando ese cuerpo tiene u

na masa de X Kg.

El sistema inglés se utiliza de forma similar al sistema popular en España. Así un cuerpo pesará X libras cuando su masa sea de X libras.

La unidad derivada en el sistema inglés será la de masa. Para determinar cual será el valor de esta unidad se pueden plantear las siguientes relaciones.

1 “Kg.(fuerza)” a 1 Kg.(masa) le imprime una aceleración de 9.807 m/s2.

1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 9.807 m/s2.

Como un metro es igual a 3.28084 pies e igual a 39.37008 pulgadas.

1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 9.80

7 m/s2 = = 9.807 x 3.28084 = 32.174 pies/s2 = 9.807 x 39.37008 = 386.088 pulgadas/s2.

Aproximadamente

1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 32.2 pies/s2.

1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 386 pulg/s2.

Como la unidad de masa debe ser tal que la unidad de fuerza le imprima una aceleración de valor unidad, si se utiliza como unidad de longitud el pie, la unidad de masa será de 32.2 libras (Slug) y si la unidad de longitud es la pulgada, la unidad de masa será de 386 libras.

FUERZAS APLICADAS Y FUERZAS DE RESTRICCIÓN

Fuerzas aplicadas son las fuerzas exteriores que normalmente son conocidas y fuerzas de restricción son las que aparecen en los pares de unión de los eslabones y son las encargadas de evitar que el mecanismo se descomponga.

CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO

Para que se dé el equilibrio estático de un mecanismo se debe cumplir en cualquier eslabón o conjunto de eslabones que la suma de fuerzas sea cero y que la suma de momento respecto de un eje sea también cero.

En mecanismos planos se debe cumplir:

0Fx=Σ (12.2)

ΣFy=0 (12.3)

ΣMz=0 (12.4)

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

El diagrama de cuerpo libre es la esquematiz

ación de uno o varios eslabones representando todas las fuerzas que actúan en los eslabones considerados.

FUERZAS DE RESTICCIÓN

Las fuerzas de restricción en los mecanismos aparecen en los pares de unión los diferentes eslabones y tienen la dirección de los movimientos que impide el par.

En los mecanismos planos los pares de unión de los eslabones más comunes son: el par giratorio, el eje motriz, el par prismático y el contacto directo.

En el par giratorio, como impide los desplazamientos y

no impide el giro, las fuerzas de restricción serán “Fx” y “Fy”.

En eje motriz, como impide los desplazamientos y el giro, las fuerzas de restricción serán “Fx”, “Fy” y “Mz”.

El par prismático, si se desprecia el rozamiento, impide el movimiento en sentido perpendicular al desplazamiento del par y también impide el giro, por tanto la fuerza de restricción será perpendicular a la dirección de desplazamiento del par y un momento “Mz”.

En el contacto directo con deslizamiento o por rodadura, si se desprecia el rozamiento, la fuerza de restricción será perpendicular a la tangente en el punto de contacto.

ELEMENTOS DE DOS Y TRES FUERZAS

En el elemento representado en la figura 12.1 sometido a dos fu

erzas “FA” y “FB” se debe cumplir que la suma de fuerzas sea nula y la suma de momentos sea igualmente nula.

En la figura 12.1 (a) la suma de fuerzas no es cero.

En la figura 12.1 (b) la suma de fuerzas es cero pero la suma de momentos no es nula, ya que las fuerzas forman un par.




Para que en un elemento sometido a dos fuerzas la suma de fuerzas y suma de momentos sean nulas se debe cumplir que las fuerzas sean iguales en módulo, tengan la misma línea de acción y sentido contrario, tal como se observa en la figura 12.1 (c).

En el elemento representado en la figura 12.2 sometido a tres fuerzas “FA”, “FB” y “FC” se debe cumplir que la suma de fuerzas sea nula y la suma de momentos sea igualmente nula

. En la figura 12.2 (a) la suma de fuerzas no es cero.

En la figura 12.2 (b) la suma de fuerzas es cero pero la suma de mome

ntos no es nula, ya que si se toma momentos respecto del punto de corte de las fuerzas “FB” y “FC”, éste no será nulo, y al ser la suma de fuerzas nula quiere decir que el sistema de f

uerzas es equivalente a un par.

Para que un elemento sometido a tres fuerzas esté en equilibrio estático se debe cumplir que la suma de fuerzas sea cero y que las tres fuerzas se corten en un punto, figura 12.2 (c). Si la suma de fuerzas es cero, puede existir un par, pero si las tres se cortan en punto, el momento respecto de ese punto será nulo, por tanto no existe un par ya que el momento de un par es igual respecto de cualquier punto del espacio


ELEMENTOS DE CUATRO FUERZAS

Para resolver gráficamente el equilibrio estático de un elemento sometido a cuatro o más fuerzas, se debe reducir a un elemento de dos o tres fuerzas a base de sumar previamente algunas de las fuerzas a que está sometido.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

En los problemas de fuerzas estáticas, si desprecia el rozamiento, existe proporcionalidad entre las fuerzas aplicadas y las fuerzas de restricción, o sea son problemas lineales. En los problemas lineales, los efectos finales producidos por varias causas son iguales a la suma de los efectos producidos por cada una de causas. Así las fuerzas de restricc ión finales producidas por todas las fuerzas aplicadas serán la suma de las fuerzas de restricción pro ducidas por cada una de las fuerzas aplicadas


FUERZAS DINÁMICAS

Fuerzas dinámicas son las fuerzas debidas al término de masa por aceleración.

Los problemas de dinámica pueden ser de dos tipos:

- Dinámica directa, cuando se conocen las fuerzas y momentos aplicados y se debe determinar la cinemática del mecanismo. Este es un problema muy complejo que salvo en casos sencillos es de difícil resolución.

- Dinámica inversa, cuando se conoce la cinemática del mecanismo y se deben determinar las fuerzas y momentos a aplicar para lograrla.

CENTROIDES Y CENTRO DE MASAS

Centro de masas de una serie de partículas en el espacio

Si se tiene una serie de partículas en el espacio como la representada en la figura 13.1, las coordenadas del centro de masas se determinarán:


Si las partículas estuviesen en un plano, por ejemplo el plano “XY”, bastaría con las coordenadas “XG” e “YG” para determinar la posición del centro de masas. Y si estuviesen alineadas, entonces bastaría con una sola coordenada.

Centroides de figuras geométricas planas compuestas

Los centroides de figuras geométricas planas son importantes ya que sus posiciones coinciden con los centros de masas de cuerpos de espesor uniforme.

La posición de los centroides de superficies sencillas son conocidos o se pueden encontrar con facilidad en cualquier libro de texto de mecánica.

Para localizar el centroide de una superficie cualquiera, se debe descomponer ésta en superficies sencillas cuyas superficies y centroides sean conocidas como por ejemplo la superficie representada en la figura

Centroides de figuras geométricas planas limitadas por una función






Centro de masas de un cuerpo limitado por una función

Si se tiene un cuerpo limitado por una función como el de la figura 13.4, para determinar la posición del centro de masas se pueden aplicar las ecuaciones siguientes:



Los centros de masas de cuerpos limitados por funciones sencillas normalmente se pueden encontrar en textos de mecánica.

Centro de masas de un cuerpo compuesto

Si se tiene un cuerpo complejo se puede descomponer en cuerpos sencillos de los que se conozca su masa y su centro de masas. Cada cuerpo sencillo se puede tratar como una partícula cuya masa sea la correspondiente al cuerpo y que su posición sea el centro de masas del dicho cuerpo.

Las coordenadas del centro de masas del conjunto se pueden calcular con las ecuaciones siguientes:


MOMENTOS DE INERCIA

Momento de inercia de superficies

El momento segundo o momento de inercia de superficie, figura 13.5, es el resultado de las ecuaciones siguientes:




Radio de giro “K” es la distancia desde un eje a la que debería estar toda la superficie para que tuviese el mismo momento de inercia respecto de ese eje. En este caso el momento de inercia sería:


Para calcular el momento de inercia respecto de unos ejes cualesquiera se utiliza el teorema de Steiner que relaciona el momento de inercia respecto de unos ejes cualesquiera con el momento de inercia respecto de unos ejes que pasan por el centroide, figura 13.6.


Las ecuaciones son las siguientes:


Momento de inercia de superficies complejas

El momento de inercia de una superficie compleja respecto de un eje es la suma de los momentos de inercia respecto de ese eje de las superficies elementales en las que se puede dividir la superficie compleja.

Lo normal es conocer los momentos de inercia de las superficies elementales respecto de su centroide. En este caso se aplica el teorema de Steiner para calcularlo respecto del eje deseado.

Momento de inercia de masas

En dinámica el que tiene utilidad es el momento de inercia de masas.

Para calcular el momento de inercia de una masa, figura 13.7, se aplican las ecuaciones siguientes:




Radio de giro “K” es la distancia desde un eje a la que debería estar toda la masa para que tuviese el mismo momento de inercia respecto de ese eje. En este caso el momento de inercia sería:




Para calcular el momento de inercia respecto de unos ejes cualesquiera se utiliza el teorema de Steiner que relaciona el momento de inercia respecto de unos ejes cualesquiera con el momento de inercia respecto de unos ejes que pasan por el centro de masas, figura 13.8.

Las ecuaciones son las siguientes: